示談を持ちかけられたときの対応は？

昨日、車に乗って片側二車線の道路を走行していた際に、左側の小道から私の走る道路に進入してきた車にぶつけられるという交通事故に遭いました。
相手の人からは、治療費などの対応はするので、警察への届出はやめてほしいと言われています。
事故によるケガで今も首や肩が痛いのですが、相手の人が治療費の支払の対応をしてくれるかわからず、まだ病院に行っていません。
交通事故の場合健康保険が使えないとも聞きますので、とても不安です。
今後、私はどうしたらよいのでしょうか。

すぐに交通事故について警察に報告し、病院で治療を受けてください。
交通事故による治療には健康保険が使用できないのではないかと心配される方がいらっしゃいますが、交通事故によるケガにも健康保険は問題なく使用できます。
また、相手が治療費の支払いを全くしてくれない場合でも、「被害者請求」と呼ばれる手続を使って、相手方車両に付保されている自賠責保険会社に直接治療費の請求をすることができます。
少なくとも１２０万円までは、治療費、通院交通費、休業損害について保障が受けられますので、病院に行かないで痛みを我慢する必要はありません。
この被害者請求手続を採るには、警察が発行する「事故証明書」の取得が必須なので、証明書発行の前提となる警察への交通事故届出は必ずしてください。